Dodano: 18 lipiec 2019r.

Niezwykła symetria kwazikryształów okiem matematyka

Struktura kwazikryształu jest uporządkowana, ale nie ma w niej typowej regularności. Matematyk prof. Jacek Miękisz sprawdza, jak to możliwe, że takie nietypowe ułożenie atomów może być czasami optymalne.

 

Kryształy lodu, soli kuchennej, cukru, ale i diamentów, szmaragdów czy kwarcu nieprzypadkowo mają piękne regularne kształty. Związane jest to z ich budową: atomy ułożone są tam bowiem w sposób bardzo uporządkowany i tworzą powtarzające się w przestrzeni wzory. Większość takich struktur daje się wpisać w wielościany, którymi bez problemu - jak cegiełkami - można wypełnić przestrzeń - układając je po prostu jedne na drugich. I tak na przykład w soli kuchennej atomy chloru i sodu rozłożone są bardzo elegancko - w rogach i na ścianach sześcianu. Jest tam więc symetria translacyjna, która sprawia, że układ powtarza się w przestrzeni, jeśli odpowiednio się go przesunie. Wydawało się, że wszystkie kryształy mają taką piękną i zrozumiałą symetrię. Do czasu, kiedy Dan Shechtman odkrył kwazikryształy.

Prof. Jacek Miękisz z Uniwersytetu Warszawskiego, który pracuje nad matematycznymi modelami kwazikryształów, opowiada o badaniach Shechtmana. Ten izraelski naukowiec w latach 80. XX wieku schłodził stop glinu i manganu, a w obrazie dyfrakcyjnym ujrzał dziwną strukturę: była ona uporządkowana, ale nieokresowa: wyszedł mu układ, który miał obrotową symetrię 10-kątną. A przy takiej symetrii matematycznie niemożliwe jest uzyskanie struktury, która w sposób okresowy wypełni trój- albo dwuwymiarową przestrzeń.

 

Zaobserwowanie w przyrodzie tej nieznanej wcześniej symetrii oburzyło ówczesnych fizyków. Ten sposób organizacji materii zupełnie nie mieścił się w ówczesnych "szufladkach", których używano do opisu kryształów. Shechtman spotkał się z ostracyzmem (noblista Linus Pauling grzmiał, że nie istnieją kwazikryształy, ale istnieją kwazinaukowcy). Na szczęście naukowiec się nie poddał, jego odkrycie opublikowano i uznano kilka lat później, a badacza w 2011 r. za odkrycie kwazikryształów nagrodzono Noblem z chemii. A w dodatku trzeba było tak zmienić definicję kryształu, aby objąć nią i to, co odkrył Shechtman.

Struktura, która tak bardzo oburzyła fizyków, znana była już wtedy jednak matematykom. - Gdyby nałożyć na siebie obrazy dyfrakcyjne atomów w kwazikrysztale Shechtmana i wierzchołków w tzw. parkietażu Penrose`a - obrazy się ze sobą pokrywały - mówi prof. Miękisz.

A parkietaż Penrose`a to bardzo interesujący układ: dwa rodzaje rombów (jeden o kątach 72 i 108 stopni, a drugi o kątach 36 i 144 stopni) z wypustkami i wcięciami wystarczają by pokryć nimi płaszczyznę, ale nie można nimi tej płaszczyzny wypełnić w sposób okresowy. W odróżnieniu do okresowych parkietaży, którymi są np. szachownica czy układ plastra miodu.

- Odkrycie kwazikryształów niewiarygodnie wpłynęło na rozwój matematyki, która bada struktury nieokresowe. I to w różnych jej działach: topologii, algebrze, teorii liczb - mówi prof. Miękisz, który sam bada, co jest odpowiedzialne za to, że kwazikryształy istnieją, jaki rodzaj oddziaływań powoduje powstawanie takich struktur i czy są one odporne na ruchy termiczne.

Tłumaczy, że materia składa się z atomów, które oddziałują ze sobą: np. odpychają się, kiedy są zbyt blisko, a przyciągają, kiedy są zbyt daleko. Kiedy temperatura spada (w stanie równowagowym) atomy ustawiają się tak, żeby minimalizować energię. - Materia jest leniwa: chce zużywać jak najmniej energii. A jak ustawić materię, żeby energia układu była minimalna - to już zadanie matematyczne - zauważa. Wydawało się, że dążenie do minimalizowania energii zachowane jest w klasycznych kryształach, tych o okresowej budowie. Pytanie jednak, czy to samo ma miejsce w kwazikryształach.

- Twierdzi się, że atomy w kwazikryształach układają się w taki a nie inny sposób, bo również minimalizują energię. Ale nie ma na to dowodu. A ja chcę dać tu swój wkład - mówi matematyk. Dodaje, że aby stworzyć matematyczny model kwazikryształu, trzeba poznać siły, które łączą atomy i które sprawiają, że układają się one nieokresowo. Jego zespół chce stworzyć model, który będzie to wyjaśniał.

- Staramy się zobaczyć, jakie oddziaływania między elementami dałyby układ nieokresowy w stanie podstawowym. I czy układ ten jest odporny na zaburzenia. To dotąd problem, który w matematyce nie ma jeszcze rozwiązania - mówi naukowiec.

Problematyka kwazikryształów łączy się niejako z jednym ze sławnych matematycznych problemów sformułowanym w 1900 r. przez Davida Hilberta. To problem 18. część druga. Sprowadza się on do pytania, czy istnieje bryła o takim kształcie, że możemy nią pokryć całą przestrzeń trójwymiarową w sposób nieokresowy.

Naukowiec opowiada, że w swoich badaniach korzysta przede wszystkim z kartki, ołówka, gumki i kosza na śmieci. Komputery w obliczeniach nie są mu więc potrzebne. - To badania z zakresu rachunków prawdopodobieństwa, układów dynamicznych, teorii miary. Komputer to z natury rzeczy urządzenie ograniczone, a my badamy nieskończoność. Komputer może pomóc zweryfikować, jeśli nieskończoność opiszemy skończoną listą reguł. A nieskończonej liczby reguł nie zweryfikuje. Wprawdzie ludzki mózg też jest skończony, ale my już potrafimy za jego pomocą nieskończoność obejść - podsumowuje naukowiec.

Badania realizowane są w ramach grantu Harmonia Narodowego Centrum Nauki.

 

Źródło: www.naukawpolsce.pap.pl