Odkryto największą liczbę pierwszą i największą liczbę doskonałą

Liczby pierwsze są wyjątkowe w matematyce, bo dzielą się jedynie przez 1 oraz przez samą siebie. Innymi słowy nie można ich podzielić bez reszty na mniejsze czynniki. Pod koniec ubiegłego roku, dzięki międzynarodowej inicjatywie GIMPS udało się odnaleźć największą jak dotąd znaną liczbę pierwszą. Składa się z ponad 23 milionów cyfr, a jej skrótowa nazwa to M77232917. Przy okazji odkryto również największą znaną nam do tej pory liczbę doskonałą.

Zapis matematyczny największej nowej liczby pierwszej to 2 77232917 – 1 (dwa podniesione do potęgi 77 232 917 minus 1). W sumie składa się z 23 milionów 249 tysięcy 425 cyfr. Przyjmując, że na standardowej stronie A4 mieści się niemal 4 tysiące znaków, to do wydrukowania całej M77232917 potrzeba ok. 6 tysięcy kartek! Nowa rekordzistka ma o prawie milion cyfr więcej, niż jej poprzedniczka.

Liczby pierwsze fascynowały matematyków już od starożytności. Dlaczego są tak wyjątkowe? Bo dzielą się jedynie przez 1 i przez samą siebie. Dzielone przez jakąkolwiek inną liczbę dają wynik ułamkowy. Do liczb pierwszych zaliczamy m.in.: 2, 3, 5, 7, 11, 13 czy 17. W ciągu wieków wielu matematyków poszukiwało coraz to nowych, większych liczb pierwszych.

Jednym z najwybitniejszych był francuski mnich z przełomu XVI i XVII wieku Marine Mersenne. Badał on wielkie liczby pierwsze i odkrył, że niektóre z nich mają postać potęg liczby 2 minus 1. To na jego cześć dziś wielkie liczby pierwsze klasyfikowane są jako liczby Mersenne’a. M77232917 jest pięćdziesiątą liczbą w tej klasyfikacji. Za każdym razem znalezienie większej liczby przysparza coraz więcej problemów. Przewiduje się, że 51. liczba Mersenne’a będzie miała ponad 100 milionów cyfr.

Odkrycia największej znanej dzisiaj liczby pierwszej dokonał 26 grudnia 2017 roku inżynier elektronik Jonathan Pace z Germantown w stanie Tennessee (USA). Mężczyzna od 14 lat zajmuje się poszukiwaniem wielkich liczb pierwszych w ramach programu GIMPS. Nazwa projektu to skrót od Great Internet Mersenne Prime Search (z j. ang.: Wielkie Internetowe Poszukiwanie Liczb Pierwszych Mersenne’a).

Projekt GIMPS uruchomiono w 1996 roku. Na stronie https://www.mersenne.org/ każdy chętny może pobrać specjalistyczne oprogramowanie (big prime hunter) służące do poszukiwania liczb pierwszych Mersenne’a. Nie zakłóca ono pracy komputera, ponieważ używa jedynie niewykorzystywaną w danej chwili moc obliczeniową. Dzięki takiemu rozwiązaniu w ciągu ponad 20 lat udało się odnaleźć szesnaście liczb pierwszych Mersenne’a. Co więcej GIMPS oferuje dla szczęśliwego znalazcy nagrodę w wysokości 3 tys. dolarów. Za znalezienie liczby Mersenne’a, której liczba cyfr będzie większa niż 100 milionów przewidziano nagrodę w wysokości 150 tys. USD.

Projekt GIMPS nadzoruje prof. Chris Caldwell, który zbiera również historie odkrywców. Sprawdzenie czy M77232917 jest rzeczywiście liczbą pierwszą zajęło komputerowi Intel I5-6600 CPU sześć dni pracy bez przerwy. Jednak aby mieć pewność co do odkrycia, potrzeba było potwierdzenia obliczenia na czterech różnych komputerach i w czterech różnych programach. Za każdym razem ich praca trwała od 37 do 82 godzin.

Innymi słowy każdy komputer musiał pomnożyć przez siebie 77 222 917 dwójek, odjąć od otrzymanego wyniku liczbę 1 i sprawdzić, czy otrzymana liczba faktycznie dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie, nie dając reszty.

Z liczbami pierwszymi powiązane są także liczby doskonałe, które są równe sumie swoich dzielników. Najmniejszymi znanymi liczbami doskonałymi są 6 i 28. Liczba 6 dzieli się przez 1, 2 i 3 (dzielniki). 1+2+3=6. Zdaniem starożytnych liczby doskonałe miały magiczne właściwości. W XVIII wieku matematyk Leonhard Euler udowodnił związek pomiędzy liczbami pierwszymi Mersenne’a a liczbami doskonałymi. Wystarczy wziąć dowolną liczbę pierwszą Mersenne’a (n-ta potęga 2 minus 1) i pomnożyć ją przez 2 do potęgi „n-1”, a otrzymamy liczbę doskonałą. Oznacza to, że wraz z odkryciem największej znanej dotąd liczby pierwszej poznaliśmy także największą znaną liczbę doskonałą.

Wielkie liczby mają znaczny wpływ na nasze życie. Wykorzystywane są m.in. w nowych programach szyfrujących. Jednak największą karierę zrobiła liczba: googol, czyli 10 do potęgi 100. Przyjmuje się, że liczba ta jest większa, niż liczba atomów w znanym wszechświecie. Od tej liczby pochodzi nazwa najpopularniejszej na świecie wyszukiwarki Google. W czasie poszukiwania nazwy Larry Page przekręcił litery w nazwie największej liczby świata i tak powstała nazwa wyszukiwarki.

 

Źródło: Science Daily, The Independent, fot. Geralt/Pixabay